Tanimsizlik ve Belirsizlik
Matematikte önemli olan ve genelde karıştırılan iki ifade vardır. Tanımsız ve Belirsiz. Hatta ikisine de aynı diyenler bile çıkabiliyor. Bu karışıklık daha çok a≠0 için a/0 ifadesi de 0/0 ifadesi de tanımsız olarak algılanmaktan ortaya çıkıyor. Doğrusu sıfırdan farklı a değerleri için a/0=Tanımsız ve 0/0=Belirsiz olmalıdır. Aslında çok farklıdırlar ve anlaşılması çok kolaydır. Şimdi bu ifadeleri ispatlayarak farkı ortaya koymaya çalışalım.Sıfırdan farklı a için a/0=x diyelim. Buradan a=0.x olacaktır. Bu eşitlikte x değerini adlandırmaya çalışalım. “0 ile çarpıldığında sıfırdan farklı a değerini verecek sayı”. Böyle bir sayı tanımlanmadığı için x tanımsız olacaktır. Dolayısıyla x dediğimiz a/0 da tanımsız olur.
Gelelim 0/0 ifadesine. Yine aynı şekilde 0/0=x diyelim. Buradan 0=0.x elde edilir. Bu ise 0=0 olmasını gerektirir. Yani eşitlik bütün x değerleri için sağlanır. x tanımlıdır, sonsuz tanedir ancak belli değildir. Diğer bir ifadeyle 0 ile çarpıldığında 0 sayısını verecek sayı vardır ama belli değildir. Bu yüzden x belirsiz dolayısıyla 0/0 belirsiz olmalıdır.
Şimdi ise limit hesaplamalarında karşılaşılan belirsiz ifadelerini açıklamaya çalışalım.
Bu ifadeler 0/0, ∞ / ∞, ∞ - ∞, 0. ∞, 00, ∞0 ve 1∞ dir. 0/0 ifadesini yukarıda açıklamıştık.
Şimdi ise limit hesaplamalarında karşılaşılan belirsiz ifadelerini açıklamaya çalışalım.
Bu ifadeler 0/0, ∞ / ∞, ∞ - ∞, 0. ∞, 00, ∞0 ve 1∞ dir. 0/0 ifadesini yukarıda açıklamıştık.
∞ / ∞ için
∞ / ∞ =x diyelim. ∞ =∞.x olur. Burada ∞ ile çarpıldığında ∞’u verecek sayı bütün sayılardır ve belli değildir. Dolayısıyla ifade belirsiz olur.
∞ - ∞
∞ - ∞ =x dersek ∞ = ∞ +x. Buradan ise yine x’in belirsizliği açık. Daha açık iade edersek ∞ ları eşit düşünürsek ifade 0 olur. ∞ ları farklı düşünürsek duruma göre negatif veya pozitif olur. Yani belirsizdir.
0.∞ için
Bu ifadede 0 sayısını baz alırsak yutan eleman olduğundan ifade 0 olur. ∞ sayısını baz alırsak ∞’un bir sayıyla çarpımı yine sonsuzdur. Dolayısıyla belirsizdir.
00 için
00=x diyelim. Her iki taraftan ln alırsak ln00 = lnx olur. ln özelliğinden 0.ln0=lnx olur. Burada yine 0’ı baz alırsak x=1 olur. ln0’ı baz alırsak ln0 tanımsız olduğundan lnx tanımsız, x ise belirsiz olur.
∞0 için
∞0 = x diyelim. Yine ln alırsak ln ∞0 = lnx ve de 0.ln∞=lnx olur. Burada da duruma göre lnx=0 veya lnx=∞ olur. buradan x=1 veya x belirsiz olur.
1∞ için
1∞ =x diyelim. Buradan ln1∞ = lnx ve ∞.ln1= lnx. Buradan da ∞.0=lnx olur (ln1=0). ∞.0 ifadesi belirsiz olduğundan x de belirsiz olacaktır.
Sonuç olarak Tanımsız ve Belirsiz sözel olarak da Matematiksel olarak da birbirinden farklı ifadelerdir. Matematik biliminde, ifadeler ispatları etkileyeceğinden, noktanın bile önemli olduğu şu durumda, umarım Tanımsız ve Belirsiz arasındaki büyük farkı anlatabilmişimdir.
∞ / ∞ =x diyelim. ∞ =∞.x olur. Burada ∞ ile çarpıldığında ∞’u verecek sayı bütün sayılardır ve belli değildir. Dolayısıyla ifade belirsiz olur.
∞ - ∞
∞ - ∞ =x dersek ∞ = ∞ +x. Buradan ise yine x’in belirsizliği açık. Daha açık iade edersek ∞ ları eşit düşünürsek ifade 0 olur. ∞ ları farklı düşünürsek duruma göre negatif veya pozitif olur. Yani belirsizdir.
0.∞ için
Bu ifadede 0 sayısını baz alırsak yutan eleman olduğundan ifade 0 olur. ∞ sayısını baz alırsak ∞’un bir sayıyla çarpımı yine sonsuzdur. Dolayısıyla belirsizdir.
00 için
00=x diyelim. Her iki taraftan ln alırsak ln00 = lnx olur. ln özelliğinden 0.ln0=lnx olur. Burada yine 0’ı baz alırsak x=1 olur. ln0’ı baz alırsak ln0 tanımsız olduğundan lnx tanımsız, x ise belirsiz olur.
∞0 için
∞0 = x diyelim. Yine ln alırsak ln ∞0 = lnx ve de 0.ln∞=lnx olur. Burada da duruma göre lnx=0 veya lnx=∞ olur. buradan x=1 veya x belirsiz olur.
1∞ için
1∞ =x diyelim. Buradan ln1∞ = lnx ve ∞.ln1= lnx. Buradan da ∞.0=lnx olur (ln1=0). ∞.0 ifadesi belirsiz olduğundan x de belirsiz olacaktır.
Sonuç olarak Tanımsız ve Belirsiz sözel olarak da Matematiksel olarak da birbirinden farklı ifadelerdir. Matematik biliminde, ifadeler ispatları etkileyeceğinden, noktanın bile önemli olduğu şu durumda, umarım Tanımsız ve Belirsiz arasındaki büyük farkı anlatabilmişimdir.
Teşekkürler, matematiktutkusu.com
